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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.6. Usando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales:
d) ∫tln⁡(t)dt\int \sqrt{t} \ln(t) d t

Respuesta

La integral 

∫tln⁡(t)dt\int \sqrt{t} \ln(t) d t

también la vamos a resolver por partes. 

∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' En este caso tomamos: g=ln⁡(t)→g′=1t g = \ln(t) \rightarrow g' = \frac{1}{t}
f′=t→f=∫ t12 dt= t3232=23t32 f' = \sqrt{t} \rightarrow f = \int t^{\frac{1}{2}} \, dt = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}

Reemplazamos en la fórmula de partes: ∫tln⁡(t)dt=23t32⋅ln⁡(t)−∫23t32⋅1t dt \int \sqrt{t} \ln(t) dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \cdot \ln(t) - \int \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{t} \, dt

Atenti adentro de esa integral, reglas de potencias, nos queda:
∫tln⁡(t)dt=23t32ln⁡(t)−23∫t12dt \int \sqrt{t} \ln(t) dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{2}{3} \int t^{\frac{1}{2}} dt

Esa integral justo ya la resolvimos más arriba, sale por tabla, reemplazamos el resultado:

∫tln⁡(t)dt=23t32ln⁡(t)−23∫t12dt=23t32ln⁡(t)−23⋅ 23t32= 23t32ln⁡(t)−49t32  \int \sqrt{t} \ln(t) dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{2}{3} \int t^{\frac{1}{2}} dt =\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{4}{9}t^{\frac{3}{2}} 

Por lo tanto, el resultado de la integral es

∫tln⁡(t)dt=23t32ln⁡(t)−49t32+C \int \sqrt{t} \ln(t) dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{4}{9}t^{\frac{3}{2}} + C
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